Contoh Aplikasi Aljabar "Menentukan Orbit Sebuah Asteroid"

Aljabar Linier adalah salah satu mata kuliah yang relatif mudah di beberapa progam studi, tapi mungkin sebaliknya di progam studi matematika sendiri yang bisa dikatakan abstrak. Melalui tulisan ini saya mencoba memberikan sebuah aplikasi sederhana dari aljabar linier, yakni bagaimana menentukan orbit (lintasan) sebuah asteroid.

Untuk memahami tulisan kali ini diharapkan materi berikut sudah dipahami

• Sistem Linier
• Determinan
• Ilmu Ukur Analitis

Teorema : Sebuah sistem linier homogen yang terdiri dari sejumlah persamaan yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan yang tidak diketahui akan mempunyai pemecahan tak trivial jika dan hanya jika determinan dari sistem tersebut adalah nol.

Teorema diatas digunakan untuk menentukan orbit dari subuah asteroid, tapi tentunya akan saya berikan contoh sederhana pengaplikasian teorema diatas

APLIKASI SEDERHANA : MENCARI PERSAMAAN GARIS MELALUI 2 TITIK.

Misalkan diberikan dua titik yang berlainan dalam bidang, maka ada secara unik sebuah garis yang melalui kedua titik tersebut. Misalkan saja kedua titik tersebut adalah (2,1) dan (3,7), maka kita memperoleh 3 sistem persamaan

Dimana persamaan pertama adalah persamaan garis secara umum, sehingga menurut teorema haruslah determinan sistem adalah nol. Maka kita dapatkan

Dengan perhitungan determinan sederhana maka didapatkan

Hal serupa bisa kamu terapkan untuk mencari persamaan lingkaran, tapi untuk mencari persamaan lingkaran kamu membutuhkan tiga titik yang iketahui.

MENCARI ORBIT SEBUAH ARTEROID

Nah apa hubungannya dengan lintasan Asteroid? Menurut hukum Kepler (tepatnya hukum pertama Kepler), lintasan asteroid berbentuk elips. Jika garis membutuhkan 2 titik untuk mendapatkan persamaannya, dan lingkaran membutuhkan 3 titik, bagaimana dengan persamaan kerucut (parabola, hiperbola atau elips) ? Yup kamu benar, dibutuhkan 5 titik untuk menemukan persamaannya.

Oke…., sekarang misalkan seorang ahli astronomi ingin menentukan lintasan asteroid di sekitar matahari. Dia perlu membangun sebuah sistem koordinat Cartesian di dalam lintasan tersebut dengan matahari berada di titik asal koordinat. Satuan-satuan digunakan sebagai ukuran sepanjang sumbu koordinat ( 1 astronomi = jarak rata-rata dari bumi ke matahari = 93 juta mil). Oleh karena itu dia membutuhkan 5 pengamatan dari asteroid yang ingin dicari lintasan tersebut, tentu pada 5 waktu yang berbeda. Misalkan dia mendapatkan 5 titik yakni:

(8.025, 8.310), (10.170, 6.355), (11.202, 3.212), (10.736, 0.375), (9.092, -2.267)

Kita tahu persamaan elips adalah

Langsung saja kita akan mendapatkan determinan dari sistem liniernya sama dengan nol

Yang kemudian didapatkanlah persamaan lintasan (orbit) suatu asteroid itu

TERIMAKASIH……